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OPERACIONES CON ÁNGULOS

Medida de un ángulo     Relaciones entre ángulos 


Operaciones en el sistema sexagesimal.

Suma

La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema sexagesimal. Analicemos el siguiente problema:

Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón en 2 h 48′ 35″; el segundo día, en 2h 45′ 30″. ¿Cuanto tiempo corrió Luis en ambos días?

Si sumamos por separado las horas, los minutos y los segundos, resulta:

  2h  48′  35″

+  2h  45′  30″  

4h  93′  65″

Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 segundos) y 5 segundos, luego la suma se puede escribir así:

4h  94′  5″

De la misma forma, 94′ equivalen a 1 hora y 34 minutos. Luego la suma es:

5h  34′  5″

Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.

4. Realiza en tu cuaderno las siguientes sumas de ángulos:

    a.     56º 20′ 40″  +  37º 42′ 15″

    b.     125º 15′ 30″  +  24º 50′ 40″

    c.     33º 33′ 33″  +  17º 43′ 34″

A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos (g1, m1 y s1 corresponden a los grados minutos y segundos del primer sumando y g2, m2 y s2 a los del segundo sumando).

 


Resta

En la primera carrera un compañero de Luis corrío la maratón en 3 horas exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambos?

Debemos hacer la siguiente operación:

3h   0′   0″

–  2h  48′  35″  

Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo transformamos una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 horas se convienten en 2h 59′ 60″.

2h  59′  60″

–  2h  48′  35″  

0h  11′ 25″

5. Realiza en tu cuaderno las restas de los ángulos del ejercicio anterior:

    a.     56º 20′ 40″  –  37º 42′ 15″

    b.     125º 15′ 30″  –  24º 50′ 40″

    c.     33º 33′ 33″  –  17º 43′ 34″

A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos.

 


Multiplicación de un ángulo por un número natural

Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.

18º  26′  35″

             *  3   

54º  78′ 105″

Pero 105″ = 1′ 45″, luego

54º  79′  45″

Pero 79′ = 1º 19′, luego

55º 19′ 45″

6. Realiza los siguientes productos:

    a.     56º 20′ 40″ * 2

    b.     37º 42′ 15″ * 4

    c.     125º 15′ 30″ * 2

    d.     24º 50′ 40″ * 3

    e.     33º 33′ 33″ * 3

    f.     17º 43′ 34″ * 2

En la siguiente escena asigna al ángulo y al factor los valores anteriores para comprobar el resultado de los productos.

 


División de un ángulo por un número natural

Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.

Division.gif (13288 bytes)

7. Realiza las siguientes divisiones:

    a.     56º 20′ 40″ : 5

    b.     37º 42′ 15″ : 4

    c.     125º 15′ 30″ : 5

    d.     25º 50′ 40″ : 6

    e.     33º 33′ 33″ : 2

    f.     17º 43′ 34″ * 2

En la siguiente escena asigna al ángulo y al factor los valores anteriores para comprobar el resultado de las divisiones.

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Trabajo compensatorio (primera nota segundos)

Ejercicios de Práctica

 

I-Construye:

a)      5 proposiciones simples, con sus variables lógicas e indica su valor de verdad.

b)      5 proposiciones compuestas, con sus variables lógicas e indica su valor de verdad.

II-Dí el valor de verdad de cada una de las siguientes expresiones (poner F o V).

1)      Si  valor de verdad de p=F, necesariamente valor de verdad de ~p=V___

2)      Si en  la conjunción (p ^ q) = V, entonces valor de verdad de q=F______.

3)      En una disyunción (p v q) en la cual valor de verdad de p=V  puede ser falsa______.

4)      Si valor de verdad de (p ↔ q) =V  y valor de verdad de p=F necesariamente valor de verdad de q=F_______.

5)      Si valor de verdad de (p → q) =F necesariamente valor de verdad de p=V_______

III-Dadas las siguientes expresiones:

p: la tierra es plana

q: el mar es azul

s: la luna es redonda

Partiendo de las  proposiciones anteriores, exprese en lenguaje ordinario las siguientes expresiones.

1) ~p v q.________________________________________________________________

2) q ^ s._______________________________________________________________

3)  p ↔ ~s._____________________________________________________________

IV-Construye las tablas de verdad  de siguientes formas proposicionales e indica que son,  tautología, contradicción o contingencia.

 

 

    1) (~p ^ q)                               2) (p v q) ↔ s                       3) (p ↔ q)  v  ~ (p ↔ q).

 

V-  Establezca cuales de las siguientes proposiciones usa cuantificador universal o cual usa cuantificador existencial.

 

 

 

  1. Algunas aves hacen sus nidos en el suelo.
  2. Todos los murciélagos duermen con la cabeza hacia abajo’
  3. Existen animales con dos cabezas.
  4. Todos los animales vivos nacen, crecen, se reproducen y mueren.
  5. Algunos aviones se estrellan con las montañas.
  6. Todos los que viajan al exterior deben tener pasaporte.

 

 

VI-Establezca si el argumento dado es valido o no. por el método de la tabla.  

 

1.      Si invierte usted en el mercado de valores, entonces se hará rico.

Si se hace  usted rico, entonces será feliz.

Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz.

 

 

2- ) Fumar es saludable.

  Si fumar es saludable, entonces los cigarrillos son recetados por los médicos.

Los cigarrillos son recetados por los médicos.

 

 

 

3- ) Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso.

El ingreso se eleva.

Los impuestos bajan.

 

 

 

 

 

4- ) Si voy en auto a mi trabajo, entonces llegare cansado.

No estoy cansado cuando llego a mi trabajo.

 Yo no voy en auto a mi trabajo.

 

 

 

Introducción a la Geometría.

GEOMETRÍA

La palabra Geometría procede de dos palabras griegas que son:geo que significa tierra y metron que significa medida. La unión de ambas palabras – geometría – significa medida de la tierra.

Hace más de 2000 años los egipcios que vivían en las orillas del río Nilo y se dedicaban a la agricultura, tenían problemas con las crecidas que este río provocaba. Cuando las aguas del Nilo inundaban las tierras y al retirarse dejaban sustancias que enriquecían los campos para futuras cosechas, producía también un problema, y es que borraba las señales de los límites de los campos.
Cada agricultor tenía señalada en el suelo las medidas de sus terrenos. Cuando las aguas se retiraban y borraban las señales, se volvían a medir las tierras. Los encargados de hacer las nuevas mediciones eran los agrimensores.
La palabra agrimensor significa: encargado de medir la tierra.

¿DE QUÉ SE OCUPA LA GEOMETRÍA?
Como ni estamos en Egipto ni nos dedicamos, por ahora, a la agricultura, es lógico que hoy, la Geometría se ocupe del estudio de algo más que de medir terrenos. La Geometría que es una rama de las Matemáticas estudia: los puntos geométricos, rectas, planos, curvas, polígonos, poliedros, superficies, volúmenes, etc.
Comenzamos el estudio de la Geometría por el:

PUNTO GEOMÉTRICO
¿Qué es un punto geométrico?
El punto es la parte, el elemento, la cosa más simple y una de las más importantes de la Geometría.
Un punto no tiene medidas, es decir, no puedes medir su anchura o largura. Solo apreciamos el lugar donde se encuentra.
Imagina que tienes un papel sobre la mesa y dejas caer el bolígrafo de punta. Al impactar contra el papel deja una pequeña señal y cuando nos referimos a ella, hablamos de punto.

Es costumbre representarlo por una cruz y a un lado la letra por la que le identificamos
Ejemplos:

El lugar donde se cortan o se juntan las rectas es el punto (en color rojo que para lograr verlo hemos de ampliar la imagen) y las hemos representado con las letras A y B. Las denominamos: punto A y  punto B.
Cuando hablamos de intersección de dos o más líneas nos referimos a las líneas que se cortan. La palabra intersección procede de dos palabras latinas: inter que significa entre ysectio que significa corte.

RECTA

La recta es un conjunto de puntos colocados unos detrás de otros en la misma dirección.
La línea recta no tiene principio ni fin. Cuando dibujamos una línea recta, en realidad, representamos una parte de ella. Unas veces la representamos con dos letras mayúsculas que se refieren a dos de sus puntos, o bien, con una letra minúscula:

Toma un trozo de  hilo por los extremos, cada uno con una mano y ténsalo fuerte. De este modo obtienes una recta.
La recta es la distancia más corta entre dos puntos.

SEMIRRECTA
Cuando en una recta señalas un punto, a cada uno de los tramos a ambos lados de la misma llamamos semirrecta:

Como puedes observar, la recta que pasa por el punto A ha quedado dividida en dos partes representadas por las semirrectas m y n.
Podemos decir que una semirrecta es parte de una recta que tiene principio u origen y no tiene fin.
Las semirrectas m y n, tienen origen en A.

A la primera semirrecta la podemos representar:

A la segunda semirrecta la representamos:

Las dos semirrectas de una misma recta siempre son opuestas y además tienen el mismo origen. Las puntas de flecha nos indican que tienen sentidos OPUESTOS o CONTRARIOS, la semirrecta m tiene sentido hacia la izquierda y la semirrecta n tiene sentido hacia la derecha.

15.1  Si en una recta señalas un punto ¿en cuántas partes queda dividida la recta? ¿cómo se llaman cada una de las partes?

Respuesta: a) En dos partes b) semirrectas.

15.2  En el ejercicio anterior ¿tienen algún punto en común las semirrectas?

Respuesta: Sí, el punto que hemos fijado.

15.3   ¿El punto común de dos semirrectas es principio de una y final de otra?

Respuesta: No. Es principio de ambas.

SEGMENTO

Si sobre una recta señalas dos puntos, el trozo de esa recta llamamos segmento
En la figura siguiente tienes la recta r sobre la que hemos señalado dos puntos A y B. Al trozo de recta entre A y Bllamamos segmento.

Cuando veas la notación  se refiere al segmento existente entre A y B. Casi siempre, a los segmentos los designamos con letras mayúsculas.

15.4   Si en una recta fijas dos puntos ¿en cuántas partes has dividido a la recta?

Respuesta: En tres partes.

15.5  ¿Cuántas semirrectas y cuántos segmentos creamos al fijar dos puntos en una recta?

Respuesta: 2 semirrectas y un segmento.

 

 

15.6  Si decimos que una semirrecta tiene un origen, el final ¿dónde se encuentra?

Respuesta: En el infinito, no tiene límite.

15.7  Dos semirrectas ¿pueden tener un punto común?

Respuesta: Sí, el punto origen de ambas.

15.8   ¿Cuántos puntos necesito para trazar una recta que los incluya?

Respuesta: Dos puntos.

15.9  ¿Existe alguna diferencia entre recta y semirrecta?

Respuesta: Sí, la recta no tiene ni principio ni fin, la semirrecta aunque tampoco tiene fin, sí tiene un origen.

15.10   Si unimos dos semirrectas opuestas ¿qué resultado obtenemos?
Respuesta: La recta.

OPERACIONES CON SEGMENTOS

Sumar:
Para sumar segmentos, los colocamos uno a continuación de otro, sobre la misma recta, es decir, agregamos un segmento al siguiente y el valor de la suma será la longitud total obtenida

Supongamos que tenemos 3 segmentos que miden 2, 3 y 6 cm., y los colocamos sobre una misma línea, uno a continuación de otro. Obtendremos un segmento de 11 cm:

Restar:
Para restar dos segmentos puedes llevarlos a ambos sobre la misma línea haciendo coincidir uno de los extremos de los dos. El segmento sobrante, será la diferencia.

Tengo 2 segmentos de 2 y 5 cm., respectivamente:

Los llevo sobre la recta r  haciendo coincidir los extremos A y C:

La diferencia nos vendrá dada por el segmento que medirá 3 cm.

Multiplicar:
En esta operación aritmética estudiamos el producto de un número natural por el valor de un segmento.
Consiste en sumar tantos segmentos iguales como unidades tiene el número natural.
En la figura siguiente tienes un segmento de 2 cm., que lo multiplicamos por el número 4 que es un número entero y positivo.
Sobre la recta r colocamos este segmento, uno a continuación de otro, tantas veces como unidades tiene el número natural, en nuestro caso, 4.

La longitud del segmento resultante será el valor del producto, es decir, 8 cm.

Dividir:
En esta operación aritmética estudiamos el cociente del valor de un segmento entre un  número natural. El cociente que obtengamos será valor del segmento que nos piden. 
En realidad, se trata de la operación inversa a la que hemos realizado en el producto.

Supongamos que nos dan el valor del segmento  que es de 12 cm. y nos dicen que lo dividamos entre el número natural 4:

Si dividimos 12 entre 4 obtendremos que el segmento que ha sido multiplicado por 4 vale 3 cm.

El resultado de la división de un segmento de 12 cm., entre 4 será un segmento que mide 3 cm.

15.11  Haciendo uso de una regla realiza el producto: sabiendo que el segmento que el segmento es igual a 2 cm.

Respuesta: 10 cm

EL PLANO

Si en este momento estás leyendo lo que está escrito en esta página, es que miras a la pantalla del ordenador. Te habrás fijado que la pantalla es una superficie lisa, llana, plana,…lo mismo que la tapa de tu pupitre, el cristal de tu ventana, etc.
Todos estos ejemplos representan el plano.

El plano tiene dos dimensiones: largo y ancho:

En el plano podemos dibujar puntos, líneas, etc.

Debes tener presente:
a) Entre dos puntos sólo existe una recta.

b) Por un punto pueden pasar infinitas rectas:

Por el punto P pasan cuantas rectas desees.

A tener en cuenta:
a) Si sobre un plano o superficie plana dibujas una recta, todos sus puntos están contenidos en dicho plano o superficie plana.
b) Un plano puede contener infinitas rectas.

c) Por una recta pueden pasar infinitos planos:

Por la recta r  (en color negro) pueden pasar infinitos planos.

TRES PUNTOS NO SITUADOS EN LÍNEA RECTA DETERMINAN UN PLANO:

Casi siempre que nos referimos a un plano o superficie plana nos imaginamos 4 esquinas o vértices. La realidad es un poco distinta, para definir o determinar un plano nos es suficiente con tres puntos que no estén en la misma recta:

Los puntos AB y C no están en la misma recta, aunque 2 de ellos sí lo están. Siempre que los tres puntos no se encuentren en la misma recta, al unirlos, crearemos un plano, y solamente uno:

Si la figura te parece como parte de un plano no importa, siempre será un plano.

¿POR QUÉ DECIMOS QUE TRES PUNTOS NO SITUADOS EN LA MISMA RECTA DETERMINAN UN SOLO PLANO?

La contestación la encuentras en tu casa seguramente. Una silla que tiene 4 patas, puede determinar 2 planos, incluso más. Es suficiente que una de las patas sea un poco más larga o más corta que las demás.

Dado que las patas no están situadas en la misma recta determinan, en el caso de que una sola de las patas sea de distinta longitud, dos planos.

¿Cómo lo puedes comprobar? Observarás que una de las patas no toca el suelo y al sentarte sobre ella y moverte, notarás un pequeño vaivén que se produce al pasar del contacto de tres patas al contacto de tres pero una de ellas distinta al caso anterior.

Supongamos que el punto de contacto de las patas de la silla con el suelo sean los puntos A, B, C y D.

Vamos a suponer que la pata correspondiente al punto B no tenga la misma longitud, que sea más corta que las otras tres que miden igual.
Verás que cuando haces apoyar esta pata, crearás un plano con los punto A, B y C (recuerda que 3 puntos no situados en línea recta determinan un plano).
El punto D corresponderá a otro plano, por eso no hace contacto con el suelo.

Si ahora haces apoyar la pata correspondiente al punto Dcrearás el plano A, C y D.

Diremos que la silla “cojea” al pasar de un plano a otro.

En la siguiente figura verás los dos planos en distintos colores:

TRES PUNTOS SIEMPRE DETERMINAN UN SOLO PLANO
No olvides que tres puntos no situados en línea recta determinan un solo plano aunque las patas no tengan la misma longitud o el suelo no sea plano.

Puedes hacer la prueba con tres dedos de tu mano puestos verticales y separados. Coloca un libro sobre ellos y notarás que no se cae. Los tres dedos son los tres puntos que determinan un plano.

Es importante cuanto se relaciona con objetos que tienen tres patas, tres pies, etc., que los llamamos trípodes (tri tanto en griego como en latín significa tres y podo que significa pie).  Aunque el suelo no sea liso, tres puntos determinan un plano.

 

Números Complejos o imaginarios

Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario.

Ejemplos:

1 + i 12 – 3.1i -0.85 – 2i π + πi √2 + i

La noción de número complejo nace de   la imposibilidad de los números reales de abarcar a las raíces de orden par del conjunto de los números negativos. Los números complejos pueden, por lo tanto, reflejar a todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.

Gracias a esta particularidad, los números complejos se emplean en diversos campos de las matemáticas, en la física y en la ingeniería. Por su capacidad para representar la corriente eléctrica y las ondas electromagnéticas, por citar un caso, son utilizados con frecuencia en la electrónica y las telecomunicaciones. Y es que el llamado análisis complejo, o sea la teoría de las funciones de este tipo, se considera una de las facetas más ricas de las matemáticas.

Cabe resaltar que el cuerpo de cada número real está formado por pares ordenados (a, b). El primer componente (a) es la parte real, mientras que el segundo componente (b) es la parte imaginaria. Los números imaginarios puros son aquellos que sólo están formados por la parte imaginaria (por lo tanto, a=0).

Los números complejos componen el denominado cuerpo complejo (C). Cuando el componente real a es identificado con el correspondiente complejo (a, 0), el cuerpo de estos números reales (R) se transforma en un subcuerpo de C. Por otra parte, C conforma un espaciovectorial de dos dimensiones sobre R. Esto demuestra que los números complejos no admiten la posibilidad de mantener un orden, a diferencia de los números reales.

Historia de los números complejos

Ya desde el siglo I antes de Cristo, algunos matemáticos griegos, como ser Herón de Alejandría, comenzaron a esbozar el concepto de números complejos, ante dificultades para construir una pirámide. Sin embargo, recién en el siglo XVI empezaron a ocupar un lugar importante para la ciencia; en ese momento, un grupo de personas buscaba fórmulas para obtener las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3.

En primer lugar, su interés era dar con las raíces reales de las ecuaciones antes mencionadas; sin embargo, también debieron enfrentarse a las raíces de números negativos. El famoso filósofo, matemático y físico de origen francés Descartes fue quien creó el término de números imaginarios en el siglo XVII, y recién más de 100 años más tarde sería aceptado el concepto de los complejos. Sin embargo, fue necesario que Gauss, científico alemán, lo redescubriera un tiempo después para que éste recibiera la atención que merecía.

 

Lee todo en: Definición de números complejos – Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/numeros-complejos/#ixzz2SAzk5P85

inecuaciones

  1. Resuelve las siguientes inecuaciones y grafica  su resultado
  2.  2x + 6 < 0                    
  3. 3x – 2 ≥ 0              
  4.  5x +8  ≤  0
  5. 15x – 25 ≤ 0
  6. –2x – 5 ≥ 0
  7.  5x + 10 > 12x – 4
  8. 4x + 2 –  2x < 8x
  9. x + 51 > 15x + 9
  10.  x + 2x + 3x < 5(1 – x) + 6
  11.  2(x – 1) + 2x −8 ≥ 9x +10
  12. 6(x – 2) – 7(x – 4) > 6 – 3x
  13. 2(x – 3) > 1 – 3(x – 1)
  14. 2(x −1) <1− 6x
  15. 3(2x −3) ≥ 2(x +5)−1
  16. 10x − 4(x +1) ≥13+ 3x
  17. 5(2 − 3x) > 3(2 − 3x)
  18. 3− (x − 6) ≤ 4x −5
  19. 2x −8 ≥ 9x −10